KESJULY18

2017-07-03 12:46:29
Απαγωγή εις άτοπο και αρμονική σειρά

Απαγωγή εις άτοπο και αρμονική σειρά


ΤΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Α. ΠΟΛΗ*

Η απόδειξη μιας μαθηματικής πρότασης είναι κάποτε αδύνατη αν προσπαθήσουμε να καταδείξουμε την ορθότητα της απευθείας. Από την άλλη, ενίοτε είναι ευκολότερο να αποδείξουμε ότι η αντίθετη πρόταση  είναι λανθασμένη. Με βάση την αρχή του αποκλειόμενου μέσου, δύο αντιφατικές προτάσεις δεν μπορεί να είναι και οι δύο ορθές ή και οι δύο λανθασμένες. Αν η μια είναι ορθή, η άλλη είναι λανθασμένη και το αντίστροφο. Αν καταφέρουμε λοιπόν να αποδείξουμε ότι η αντίθετη πρόταση είναι λανθασμένη τότε αξιωματικά η προς απόδειξη πρόταση  είναι ορθή. Πρόκειται για την μέθοδο απόδειξης που είναι γνωστή με το όνομα  Απαγωγή εις άτοπο¹ .

Ως παράδειγμα χρήσης της μεθόδου της απαγωγής εις άτοπο θα παραθέσουμε την απόδειξη απόκλισης του αθροίσματος των απείρων όρων της αρμονικής σειράς. Θεωρούμε καταρχήν ως δεδομένο, με βάση το λογικό αξίωμα του αποκλειόμενου μέσου, ότι η αρμονική σειρά είτε συγκλίνει είτε αποκλίνει. Είναι όμως αδύνατον να αποφανθούμε εκτελώντας την πράξη της πρόσθεσης για ένα άθροισμα που αποτελείται από άπειρους όρους. Όσους και να προσθέσουμε υπάρχουν και άπειροι άλλοι και δεν είναι άμεσα προφανές αν υπάρχει κάποιο όριο στο άθροισμα αυτό! Κατά συνέπεια δεν μπορούμε απευθείας να αποφανθούμε αν το άθροισμα αυτό τείνει σε κάποιο πεπερασμένο αριθμό (συγκλίνει ), ή μπορεί να γίνει μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο αριθμό (αποκλίνει ). Οπότε πως μπορούμε να αποφανθούμε περί της σύγκλισης ή της απόκλισης της αρμονικής σειράς; 

Εφόσον αρμονική σειρά είτε αποκλίνει είτε συγκλίνει, αν αποδείξουμε  ότι μια από τις δύο περιπτώσεις είναι λανθασμένη τότε η άλλη υποχρεωτικά είναι ορθή. Ας θέσουμε το πρόβλημα αναλυτικότερα. Η αρμονική σειρά έχει ως όρους τα κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς δηλαδή το 1, 2, 3, …., ν, ν+1, …Προφανώς οι όροι της αρμονικής σειράς είναι οι αντίστροφοι των φυσικών αριθμών. Ο πρώτος όρος της είναι  η μονάδα (1), ο δεύτερος το κλάσμα ένα δεύτερο (½), ο τρίτος όρος το ένα τρίτο (⅓), ο τέταρτος το ένα τέταρτο (¼) και ούτω καθεξής. Κάθε επόμενος όρος είναι μικρότερος από τον προηγούμενο με αποτέλεσμα όσο προχωρούμε οι όροι να τείνουν προς το μηδέν. Τι συμβαίνει λοιπόν; Είναι το άθροισμα των απείρων όρων της αρμονικής σειράς πεπερασμένο; Αν ναι πόσο είναι αυτό το άθροισμα;

Ας υποθέσουμε  ότι η αρμονική σειρά συγκλίνει σε ένα πραγματικό θετικό αριθμό Α, τον οποίο το άθροισμα των όρων  μπορεί να πλησιάσει όσο  θέλουμε και παρά ταύτα δεν μπορεί να τον φτάσει ή να τον ξεπεράσει.  Αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους της σειράς επί ένα δεύτερο, προκύπτει μια δεύτερη σειρά με  διαδοχικούς όρους το ένα δεύτερο (1/2), ένα τέταρτο (1/4) , ένα έκτο (1/6)... ένα προς δύο ν (1/2ν). Η σειρά αυτή περιέχει όλους τους όρους της αρμονικής σειράς με άρτιο παρονομαστή και με βάση την αρχική μας υπόθεση πρέπει να έχει άθροισμα Α/2. Εφόσον το άθροισμα των όρων της αρμονικής σειράς με άρτιο παρονομαστή ισούται με το ένα δεύτερο του αθροίσματος των όρων της,  είναι προφανές ότι το άθροισμα των όρων της αρμονικής σειράς με περιττό παρονομαστή επίσης ισούται με το ήμισυ του αθροίσματος ολόκληρης της σειράς. Άρα ·το άθροισμα των όρων με περιττό παρονομαστή ισούται με το άθροισμα τον όρων με άρτιο παρονομαστή. Αν όμως τα δύο αθροίσματα είναι ίσα, τότε η διαφορά τους ισούται με μηδέν, δηλαδή:

(1 – ½ ) + (1/3 – ¼ ) + ( 1/5 – 1/6 ) + … [( 1/2ν-1) – 1/2ν ] = 0

Το συμπέρασμα αυτό είναι εμφανώς άτοπο, αφού κάθε μια από τις άπειρες παρενθέσεις είναι θετικός αριθμός. Είναι αδύνατο ένα άθροισμα θετικών αριθμών να ισούται με μηδέν. Άρα η αρχική παραδοχή μας περί σύγκλισης της αρμονικής σειράς στο θετικό αριθμό Α είναι άτοπη. Αφού λοιπόν η αρμονική σειρά δεν συγκλίνει τότε υποχρεωτικά αποκλίνει και αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των άπειρων όρων της τείνει προς το θετικό άπειρο, είναι δηλαδή μεγαλύτερο από οποιοδήποτε πεπερασμένο θετικό αριθμό.

Σημειώσεις

1.Η απαγωγή εις άτοπο [στα λατινικά: reductio ad ab-surdum] είναι μέθοδος μαθηματικής απόδειξης. Θεμελιώνεται στις ακόλουθες αρχές της Αριστοτελικής· τυπικής λογικής.

Α. Η αρχή της μη αντίφασης: Καμιά έννοια δεν μπορεί να ταυτιστεί με την αντίθετη της. "το αυτό άμα υπάρχειν τε και μη υπάρχειν αδύνατον…"

Β. Η αρχή του αποκλειόμενου τρίτου. Δύο αντιφατικές προτάσεις, που αναφέρονται ·στην ίδια έννοια, είναι αδύνατο να είναι και οι δύο ορθές. Είτε η πρώτη είναι ορθή και η δεύτερη λανθασμένη, είτε η δεύτερη ορθή και η πρώτη λανθασμένη.

Αν η ορθότητα μιας μαθηματική πρότασης· δεν είναι ευθέως αποδείξιμη, τότε αποδεχόμαστε ως ορθή την αντίθετη της και με βάση αυτή την παραδοχή προσπαθούμε να φτάσουμε σε ένα εμφανώς άτοπο συμπέρασμα. Αν φθάσουμε στο άτοπο συμπέρασμα τότε προφανώς η αντίθετη της προς απόδειξη πρότασης είναι λανθασμένη και άρα με βάση την αρχή του αποκλειόμενου μέσου η προς απόδειξη πρόταση είναι ορθή.

*Εκπαιδευτικός


Αφήστε ένα σχόλιο

  • Υποχρεωτiκά πεδία *


If you have trouble reading the code, click on the code itself to generate a new random code.
 

FREDERICKJULY18
ucaln2prtyxia
 Cyprus School of Molecular Medicine
kaitomia-ereyna ucy
CUTSEPT2018
NEAPJUL17
MIMSEPT
INTERCOLLEGE
THEOLOGIKISXOLI
CDA2018
PAJUNE18
PROGNOSIS9
MARTIME
FORUMMARCH
OLYMPION2017
iky2018
ALEXANDERJULY18
OPAPCYPRUS
MOECEE
Middlesex2016