keslogisticks

2017-05-14 16:16:42
Marin Mersene: Ο Θεολόγος που μελέτησε τους πρώτους αριθμούς

Marin Mersene: Ο Θεολόγος που μελέτησε τους πρώτους αριθμούς


ΤΟΥ ΜΙΧΑΛΗ Α. ΠΟΛΗ*  

Το 1588 στο Ουαζέ της Γαλλίας γεννήθηκε ο Marin Mersenne, το όνομα του οποίου έμελλε να μείνει γνωστό όχι για τις φιλοσοφικές και θεολογικές του διατριβές, αλλά για μιαιδιόρρυθμη ομάδα πρώτωναριθμών που έκτοτε φέρουν το όνομα του.Ποιος ήταν όμως ο άνθρωπος αυτός; Για τα πρώτα χρόνια της ζωής του δεν ξέρουμε σχεδόν τίποτε. Εκείνη την εποχή μια ιερατικήμόρφωση άνοιγε παράθυρα μιας ικανοποιητικής σταδιοδρομίας. Έτσι το 1604ο Mersenne μπήκε εσωτερικός σπουδαστής στο Φλές, κολλέγιο υπό την εποπτεία των Ιησουιτών  και αργότερα, το 1609, σπούδασε Θεολογίαστη Σορβόννη. Με το τέλος των σπουδών του μπήκε στο ιδιόρρυθμο μοναστικό τάγμα των Ελαχίστων¹ που ταίριαζε γάντι στην ιδιοσυγκρασία του. Το Τάγμα ήταν ο αντίποδας των Ιησουητών,  αφού επέβαλλε στα μέλη του μια χαλαρή πειθαρχία, που αρκούνταν στα βασικά της πίστης και απεχθανόταν την στρατιωτική πειθαρχία που επέβαλλαν άλλα καθολικά τάγματα στους μοναχούς – μέλη τους. Στα πλαίσια αυτά ο Mersenne ανέπτυξε προσωπική  φιλία με τον Καρτέσιο και  υποστήριξετις επαναστατικές ιδέες του  Γαλιλαίου, γεγονός ιδιαίτερα ασυνήθιστο για ένα μοναχό.

Ως αποτέλεσμα της ευρύτητας πνεύματος που τον διάκρινε, ο Mersenne συνέγραψε βιβλία σε πολλά πεδία του επιστητού². Το κυριότερο Μαθηματικό έργο του ήταν το Cogitata Physiko-Mathematica ( 1644) στο οποίο  μελέτησε τους πρώτους αριθμούς. Διατύπωσε την υπόθεση ότι ο αριθμός 2ᴾ - 1είναι πρώτος μόνο όταν ο εκθέτης του 2 παίρνει τις τιμές 2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257. Η εικασία του ιδιόρρυθμου μοναχού ήταν αξιοσημείωτη. Πράγματι ενώ για μικρούς εκθέτες είναι εύκολο να την επαληθεύσεις αφού 2² - 1 =3, 2³ - 1  = 7, 2⁵ - 1  = 31, 2⁷ - 1= 127, όμως  με τα   μέσα της εποχής του  ήταν πρακτικά αδύνατο να γράψει σε δεκαδική μορφή αριθμούς τόσο μεγάλους όπως ο 2²⁵⁷ - 1. Ακόμα όμως και να τον έγραφε, η προσπάθεια παραγοντοποίησης ενός αριθμού με 77 ψηφία για να καταδειχθεί αν είναι πρώτος ή σύνθετος είναι  αδύνατη χωρίς ηλεκτρονικό υπολογιστή. Ο Mersenne γύρω στο 1630 κατόρθωσε  να αποδείξει με αναρίθμητες πράξεις στο χέρι ότι οι αριθμοί 2¹³ - 1 = 8191, 2¹⁷ - 1 = 131071, 2¹⁹ - 1 = 524287 όντως ήταν πρώτοι, όμως απέτυχε να ελέγξει τους μεγαλύτερους αριθμούς, λόγω  πρακτικών δυσκολιών.

Το 1772 ο μέγας μαθηματικός Euler απόδειξε ότι  ο 2³¹ - 1 = 2 147 483 647  επίσης είναι πρώτος. Tην σκυτάλη παρέλαβε το 1883ο Pervushin οποίος απέδειξεότι ο αριθμός (2⁶¹ - 1) είναι πρώτος παρόλο που ο 61 δεν ήταν στην αρχική λίστα εκθετών Mersenne. Ο αριθμός  2⁶¹ - 1 = 2 305 843 009 213693 951 έχει 19 ψηφία και είναι μια πρόκληση να καταφέρεις να τον διαβάσεις, όχι να τον παραγοντοποιήσεις.Ακολούθησε ο Powers, ο οποίος τα έτη1911-1914 πρόσθεσε στον κατάλογο τους αριθμούς  2⁸⁹ - 1  και   2¹⁰⁷ - 1. Τέλος ο αριθμός  (2¹²⁷ - 1) είναι ο μεγαλύτερος πρώτος Mersenne που ανακαλύφθηκε ποτέ χωρίς τη χρήση ηλεκτρονικών υπολογιστών και έχει 39 ψηφία. Ο Lucas έκανε 19 χρόνια και αναρίθμητους υπολογισμούς στο χέρι για να δείξει ότι δεν είναι σύνθετος. Ο πλήρης έλεγχος του αρχικού καταλόγουκατέστη εφικτός μόλις το 1930, οπότε  αποδείχτηκε ότι ο Mersenne λανθασμένα είχε καταχωρίσει ως πρώτο τον  αριθμό2²⁵⁷ - 1. Ο τελευταίος αριθμός αποδείχθηκε ως σύνθετος από τον D.H. Lehmer. Μέχρι το 1947 ο κατάλογος των πρώτων, πουμε βάση τον τύπο 2ᴾ -1δίνουν αριθμούς Mersenne ήταν οι: 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89, 107, 127.  Ο Mersenneείχε κάνει 5 λάθη, αφού παρέλειψε τους αριθμούς 61, 89, 107 και έβαλε λανθασμένα στον κατάλογο του τους αριθμούς 67 και 257.

Οι πρώτοι του Mersenne την εποχή των υπολογιστών

Το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα οι κυνηγοί αριθμώνMersenneαπόκτησαν αναπάντεχα ένα νέο πανίσχυρο όπλο, τους Η.Υ. Έτσι το 1952  ο RafaelRobinsonμε τη βοήθεια του υπολογιστή SWAC ανακάλυψε άλλους πέντε αριθμούς. Συγκεκριμένα για τους πρώτους 521, 607, 1273, 2203, 2281, πρώτοι είναι επίσης οι αριθμοί:2⁵²¹ - 1 ,2⁶⁰⁷ - 1 ,  2¹²⁷³ - 1  ,  2 ²²⁰³ - 1,  2²²⁸¹ - 1.Όσο δυναμώνει η ισχύς των Η.Υ. προκύπτουν αριθμοί ασύλληπτοι σε μέγεθος όπως δείχνουν τα παραδείγματα που ακολουθούν:

  1. Το 1961 ο μεγαλύτερος Mersenne ήταν ο 2⁴⁴²³ - 1 .  Ανακαλύφθηκε από τους Riesel H. Και Hurwitz Al.  με υπολογιστή της IBM.
  2. To 1985 ο μεγαλύτερος πρώτος ήταν ο 2²¹⁶⁰⁹¹ - 1. Είναι ο 31ος πρώτος Mersenne, με 65050 ψηφία και ανακαλύφθηκε από τον Slowinski.
  3. Το 1996 με τη βοήθεια του υπολογιστήCray ανακαλύφθηκε ο 34ος Mersenne, ο2¹²⁵⁷⁷⁸⁷ - 1. Πρόκειται για   ένα «θηρίο» με 378 632 ψηφία και  ανακαλύφθηκε από τους Slowinski&Gage.
  4. Με την αλλαγή του αιώνα η αναζήτηση πρώτων   Mersenne άλλαξε στρατηγική.  Η συνδυασμένη ισχύς χιλιάδων μικρών υπολογιστών αντικατάστησε τον ένα υπέρ- υπολογιστή με την μεγάλη ισχύ. Το 1999 ανακαλύφθηκε ένας πρώτος με περισσότερα από ένα εκατομμύριο ψηφία, ο 2⁶⁹⁷²⁵⁹³- 1.  Ο αριθμός αυτός είναι ο 38ος στη σειρά, ανακαλύφθηκε από το GIMPS⁴ έχει 2 098 960 ψηφία.  
  5. Το 2009 οι γνωστοί πρώτοι Mersenne ήταν 47 και ο μεγαλύτερος από αυτούς είχε περισσότερα από δώδεκα εκατομμύρια ψηφία. Πρόκειται για τον αριθμό 2⁴³¹¹²⁶⁰⁹ - 1 .
  6. Μέχρι τις αρχές του 2016 ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός πρώτος ήταν ο 2⁷⁴²⁰⁷²⁸¹ - 1, με 22.338.618 ψηφία. Ανακαλύφθηκε από τον Κέρτις Κούπερ με το υπολογιστικό πρόγραμμα GIMPS. Πρόκειται για τον 49ο αριθμό Mersenne.

Τέλειοι και ΑριθμοίMersenne

Οι αριθμοί 6, 28, 496, 8128, 33 550 336,  …. Ονομάζονται τέλειοι. Η «τελειότητα» τους έγκειται στο ότι έχουν την μοναδική ιδιότητα να ισούνται με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών τους. Πράγματι 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248, κ.ο.κ. Κάθε τέλειος αριθμός είναι το πολλαπλάσιο ενός αριθμού Μersenne και μιας δύναμης του δύο με εκθέτη  κατά ένα μεγαλύτερο από τον εκθέτη του αριθμού  Mersenne.Οι τέλειοι είναι άρτιοι, με ψηφίο μονάδων το 6 ή το 8, τρίγωνοι⁶ και με εξαίρεση το 6 μπορούν να γραφούν ως άθροισμα  κύβων⁷ των διαδοχικών περιττών αριθμών. Είναι γνωστοί τόσοι τέλειοι, όσοι και οι αριθμοί Mersenne. Η μελέτη των τέλειων αριθμών έχει τις ρίζες της στην αρχαία Ελλάδα⁸ και θα μας απασχολήσει ιδιαίτερα σε ένα μελλοντικό άρθρο.

Σημειώσεις

  1. Το Τάγμα των «Ελαχίστων» πρέσβευε μια χαλαρή θρησκευτικότητα που απεχθανόταν  τους δογματικούς τύπους, την τυπολατρία, την ανάμειξη της θρησκείας στην επιστήμη και την εκπαίδευση. Πίστευαν στην προσευχή και αντιμάχονταν την αθεΐα.
  2. Άλλα έργα του MarinMersenne: Οικουμενική Αρμονία, Θεολογικά, φυσικά και ηθικά ζητήματα, Ηαλήθεια των επιστημών κατά των Σκεπτικιστών και Πυρρωνικών.
  3. Οι αριθμοί Lucas-Lehmer συμβολίζονται με Lnκαι προκύπτουν από  τον αναδρομικό τύπο

Ln= ( Ln-1 )² - 2 . Για L2= 4, L3= 4² - 2 = 14, L4= 14² - 2 = 194, L5= 194² - 2 = 37 634. Η χρησιμότητα τους έγκειται στον εντοπισμό πρώτων αριθμών Mersenne. Στην περίπτωση μας αν ο L5διαιρείταιακριβώςμε το [2⁵ - 1] τότε είναι πρώτος. Πράγματι: 37634 : 31 = 1214.

  1. To ακρωνύμιοGIMPSσημαίνει: Great Internet Mersenne Prime Search. Στα Ελληνικά αποδίδεται ως ερευνητικό διαδικτυακό πρόγραμμα ανίχνευσης πρώτωνΜersenne.Το πρόγραμμα επινοήθηκε από τον G. Woltman. Σε αυτό μπορεί να συμμετέχει όποιος θέλει με τον προσωπικό του υπολογιστή. Η συνδυασμένη ισχύς πολλών μικρών υπολογιστών υπερκαλύπτει την ισχύ του ενός υπέρ- υπολογιστή και έτσι η ανίχνευση των αριθμών Μersenne καθίσταται ευκολότερη.
  2. Οι τέλειοι δίνονται από τον τύπο 2ⁿ. (2ⁿ᠆¹ - 1 ) , νοουμένου ότι ο αριθμός εντός της παρένθεσης είναι πρώτος Mersenne.
  3. Τρίγωνοι είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τα διαδοχικά μερικά αθροίσματα των φυσικών αριθμών. Οι δέκα πρώτοι τρίγωνοι είναι: 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55.
  4. 28 = 1³ + 3³,  496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³, 8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³+9³ + 11³ + 13³ + 15³κ.ο.κ.
  5. Ευκλείδης, Στοιχεία, Βιβλίο 9ο , θεώρημα 36.

Βιβλιογραφία

  1. EnriqueGracian, Οι Πρώτοι Αριθμοί, Ένα μακρύ ταξίδι στο άπειρο. Εκδοτικός Οίκος 4 π
  2. MarcusDuSautoy, Η Μουσική των Πρώτων Αριθμών, Εκδόσεις Τραυλός
  3. Τσιμπουράκης Δημήτρης, Η Γεωμετρία και οι εργάτες της στην αρχαία Ελλάδα, εκδόσεις ALIEN
  4. Γκρίτζαλη Γεωργία, Τέλειοι αριθμοί και πρώτοι του Mersenne.

*Εκπαιδευτικός


Αφήστε ένα σχόλιο

  • Υποχρεωτiκά πεδία *


If you have trouble reading the code, click on the code itself to generate a new random code.
 

FREDERICKMPAMPINIOTIS
ucaln2prtyxia
 Cyprus School of Molecular Medicine
UCYMASTERS
TEPAKNEW2017
NEAPJUL17
IPE18
LIMASSOLINKHP
DIORISTEOI
GONIASGR
CDA17MAY
ALEJANDER2017
UCMAS
AIGAIA
IKY2017
FORUMMARCH
PAJULY17
MEDOCHEMIESNIP
OLYMPION2017
microsoft1718
LOTTO
Middlesex2016

MOECEE