Ευκλείδεια Θεωρήματα για τους Πρώτους αριθμούς

Β. Τα 13 βιβλία των Στοιχείων

Η θεματολογία ακροθιγώς του «ευαγγελίου» των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, των περίφημων Στοιχείων περιλαμβάνει:

Το πρώτο Βιβλίο  καταγράφει 5 αξιώματα, 23 ορισμούς 9 κοινές έννοιες και τις αποδείξεις 48 θεωρημάτων για τις παράλληλες ευθείες και τα τρίγωνα. Το δεύτερο  αποθησαυρίζει 2 ορισμούς, 14 θεωρήματα και αριθμό  προβλημάτων. Πραγματεύεται προβλήματα γεωμετρικής άλγεβρας και το πρόβλημα της διαίρεσης τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. [Χρυσή τομή]Το τρίτο βιβλίο παραθέτει 11 ορισμούς, 37 θεωρήματα και προβλήματα. Πραγματεύεται τη γεωμετρία του κύκλου.

Το τέταρτο βιβλίο πραγματεύεται προβλήματα συνδυασμού κύκλου και ευθείας, την κατασκευή κανονικών πολυγώνων και την κατασκευή κανονικού πενταγώνου με τη βοήθεια του θεωρήματος της Χρυσής Τομής. Περιλαμβάνει 7 ορισμούς και 16 προβλήματα.Το πέμπτο βιβλίο αφιερώνεται στη θεωρία των αναλογιών. Αποτελεί σύνοψη του έργου του Εύδοξου του Κνίδιου. Αποτελείται από 18 ορισμούς και 25 θεωρήματα. Το έκτο βιβλίο εξετάζει κυρίως την ομοιότητα  επιπέδων σχημάτων. Καταγράφονται 33 θεωρήματα και 5 ορισμοί.

Τα τρία επόμενα βιβλία αποτελούν ενότητα αφιερωμένη στην θεωρητική αριθμητική.  Περιλαμβάνουν 102 θεωρήματα και 23 ορισμούς.Το δέκατο βιβλίο ασχολείται, μεταξύ άλλων, με τη γεωμετρική επίλυση της  εξίσωσης αχ⁴ +βχ² + γ = 0. Αποτελείται από 115 θεωρήματα και 4 ορισμούς. Το εντέκατο βιβλίο περιλαμβάνει 28 ορισμούς και 39 θεωρήματα που προσδιορίζουν τη σχέση επιπέδου και ευθείας.

Τέλος τα βιβλία δώδεκα και δεκατρία ασχολούνται με τη στερεομετρία, τη μέτρηση των όγκων και των εμβαδών των παράπλευρών επιφανειών τους. Περιλαμβάνουν συνολικά 36 θεωρήματα. Άλλα έργα του Ευκλείδη που διασώθηκαν είναι τα «Δεδομένα», «Οπτικά» «Κατοπτρικά» «Φαινόμενα» «Κατατομή Κανόνος» και «Εισαγωγή Αρμονική». Τα ακόλουθα έργα χάθηκαν : «Περί Διαιρέσεων». «Πορίσματα» «Κωνικές Τομές»«Μηχανικά» «Ψευδάρια».

Γ. Ευκλείδεια θεωρήματα  για τους πρώτους αριθμούς

Στην 20^η πρόταση του ένατου βιβλίου των Στοιχείων ο Ευκλείδης αποδεικνύει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί¹. Ο 23^ος ορισμός του 7^ου βιβλίου δίνει την έννοια του τέλειου αριθμού², η οποία στηρίζεται στους πρώτους της μορφής[2ⁿ - 1]. Στη σύγχρονη γλώσσα τέλειος ονομάζεται ο αριθμός που ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του. Στην 36^η πρόταση του 9^ου Βιβλίου ο Ευκλείδης διατυπώνει τη σχέση μεταξύ πρώτων και τέλειων αριθμών, με βάση την ακόλουθη πρόταση. « Αν το άθροισμα των όρων γεωμετρικής σειράς με πρώτο όρο τη μονάδα και λόγο τη δυάδα είναι πρώτος αριθμός, τότε το γινόμενο του αθροίσματος επί τον τελευταίο όρο της Γεωμετρικής Σειράς είναι τέλειος αριθμός³.

Δ. Το θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής

Το θεώρημα δηλώνει ότι «Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων με ένα και μοναδικό τρόπο». Αν και ο Ευκλείδης δεν καταγράφει μια άμεση απόδειξη του θεωρήματος, διαισθητικά φαίνεται να το γνωρίζει, αφού το χρησιμοποιεί για την απόδειξη άλλων θεωρημάτων. Επιπλέον αποδεικνύει προτάσεις ισοδύναμες ή παραπλήσιες. Στον ορισμό 3 του 7^ου βιβλίου ορίζει την έννοια του παράγοντα ενός φυσικού αριθμού ως «Ένας αριθμός λέγεται μέρος ενός μεγαλύτερου αριθμού αν μπορούμε να μετρήσουμε το δεύτερο με μονάδα μέτρησης τον πρώτο». Ο περίφημος αλγόριθμος του Ευκλείδη, παρουσιάζεται στις προτάσεις 1,2 του ίδιου  βιβλίου κτίζεται πάνω στην διαιρετότητα. Αν ένας αριθμός διαιρεί δύο άνισους αριθμούς α, β με α> β τότε  διαιρεί και το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους. Αν θέλουμε να βρούμε το Μ.Κ. Δ δύο αριθμών ακολουθούμε την ακόλουθη πορεία. Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε τον ΜΚΔ των αριθμών 124 και 76 με τον ευκλείδειο αλγόριθμο. [ Συμβολισμός ΜΚΔ: (124, 76)]. Διαιρούμε το 124 με το 76 και ακολούθως διαιρούμε το 76 με το υπόλοιπο της διαίρεσης. Ακολούθως διαιρούμε το πρώτο υπόλοιπο με το δεύτερο και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι το υπόλοιπο να μηδενιστεί. Όταν συμβεί αυτό το προτελευταίο υπόλοιπο είναι ο ΜΚΔ. Το πιο κάτω παράδειγμα μας δείχνει την διαδικασία:

(124,76) = (76,48) = (48, 28) = ( 28, 20) = (20, 8) = (8,4) = (4,0) = 4. Άρα προφανώς ο (124, 76) = 4

Από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη προκύπτει ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών εκ των οποίων ο μικρότερος είναι πρώτος είναι είτε ο ίδιος ο πρώτος, είτε η μονάδα. Αν α>π και π πρώτος τότε (α, π) = π αν α = νπ, ενώ αν α = νπ + υ με υ <π τότε (α, π) = 1.Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι ένας πρώτος είτε είναι είτε δεν είναι παράγοντας ενός σύνθετου, δηλαδή ότι κάθε σύνθετος μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Η πρόταση 20 του ίδιου βιβλίου λέει ότι αν κ, λ είναι οι μικρότεροι αριθμοί για τους οποίους κ:λ = α:β τότε κ│α και λ │β.Η πρόταση 20 χρησιμοποιείται ως βάση για την πρόταση 30 που αποδεικνύει ότι «αν ένας πρώτος διαιρεί ένα γινόμενο αριθμών τότε διαιρεί τουλάχιστον ένα από τους παράγοντες». Κάθε αριθμός λοιπόν μπορεί να αναλυθεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Το θεώρημα στη 14^η πρόταση του 9ου βιβλίου, στο οποίο αναφέρει ότι: «Αν δοθεί ένα σύνολο πρώτων αριθμών, τότε ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται από αυτούς, δεν διαιρείται από κανένα άλλο πρώτο» ισοδυναμεί με το να πούμε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ενός συνόλου πρώτων, ισούται με το γινόμενο τους. Αποτελεί η πρόταση αυτή έμμεση διατύπωση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής; Σαφώς αφού δηλώνεται ότι το γινόμενο δεν μπορεί να προκύψει από άλλο συνδυασμό πρώτων. Το ενδεχόμενο όμως ένα δεύτερο γινόμενο πρώτων να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, απορρίφθηκε μεν από τον Ευκλείδη ως  άτοπο, χωρίς να παρουσιάσει μια αυστηρή απόδειξη της θεμελιώδους αυτής πρότασης.

Ε. Συμπέρασμα

Το έργο του Ευκλείδη είναι η  βάση οικοδόμησης των Μαθηματικών και απετέλεσε το θεμέλιο των εκπληκτικών προόδων που η μαθηματική επιστήμη γνώρισε τους τελευταίους τρεις αιώνες. Ιδιαίτερα για το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής, παρά το ότι δεν το απέδειξε άμεσα, διαισθητικά φαίνεται να το γνωρίζει και  αποδεικνύει παραπλήσιεςπροτάσεις. Η δέκατη τέταρτη πρόταση του 20^ου βιβλίου είναι μια έμμεση διατύπωση της μοναδικότητας της παραγοντοποίησης ενός φυσικού αριθμού ως γινόμενο πρώτων παραγόντων. Το ίδιο, αν και με έμμεσο τρόπο, υποδηλώνει ο ευκλείδειος αλγόριθμος. Το έργο του Ευκλείδη, αποτέλεσε τη βάση πάνω στην οποία νεότεροι μαθηματικοί όπως ο P. Fermat, Mersenne, Eulerκ λ π προχώρησαν στην μελέτη του μυστηρίου των πρώτων αριθμών. 

Βιβλιογραφία